Родился 28 августа 1956 года в посёлке Камышов Зимавниковского района Ростовской области. Окончил Орджоникидзевское военное командное училище внутренних войск, Военную академию имени М.В. Фрунзе. Службу проходил на различных должностях в Отдельной мотострелковой дивизии особого назначения имени Ф.Э. Дзержинского внутренних войск МВД СССР.

В 1988 году награждён орденом «За службу Родине в Вооружённых силах СССР» III степени.

Из всех командиров взводов учебного полка дивизии имени Дзержинского именно Савченко больше других отмечали и за подготовленность подчинённых, и за личное мастерство, подтянутость, молодцеватость.

Главным критерием для обучающихся офицеров были результаты курсантов учебного батальона на получение ими звания сержанта: по ним судили о работе всех офицеров — от взводного до комбата. И Савченко достигал высоких результатов, работая со взводом «тихо», но упрямо.

Уже будучи подполковником, заместителем командира полка, Савченко оставался верен воинскому долгу, несмотря на сложную обстановку в стране.

Погиб Александр Романович 4 октября 1993 года у Дома Советов в Москве. В этот день подразделения дивизии получили задание не допустить проникновения вооружённых людей через рубеж блокирования вокруг Дома Советов. Подполковник Савченко находился в головном бронетранспортёре (бортовой номер 444) вместе с Юрием Лобовым.

Обстановка на Краснопресненской набережной вокруг Дома Советов была крайне напряжённой. С обеих сторон велась интенсивная стрельба, с крыш зданий вели огонь неизвестные снайперы. При объезде встречного препятствия на узком участке дороги бронетранспортёр был подбит из гранатомёта.

При взрыве гранаты подполковник Александр Савченко получил ранение, приказал бойцам эвакуироваться через боковой люк, но сам покинуть горящий бронетранспортёр не успел.

Указом Президента Российской Федерации от 7 октября 1993 года подполковнику Савченко Александру Романовичу присвоено звание Героя Российской Федерации (посмертно).

Похоронен в Москве на Ваганьковском кладбище.

Он навечно зачислен в списки личного состава воинской части.