Родился 16 февраля 1969 года в городе Архангельске. Учился в архангельской средней школе № 55. В 1991 году окончил Уфимское высшее военное авиационное училище лётчиков и по выпуску был направлен в Северо-Кавказский округ внутренних войск МВД России. 

Штурман авиационного звена — старший лётчик вертолёта авиаэскадрильи внутренних войск майор Андрей Анощенков вместе с экипажем Ми-8 прибыл на Северный Кавказ в июле 1999 года. На своей винтокрылой машине лётчики провели в воздухе десятки часов, доставляя в пункты временной дислокации личный состав, продукты питания, а после начала боевых действий в Дагестане в сложнейших условиях вывозили раненых и погибших с поля боя. 

11 августа при посадке в аэропорту Ботлих, в Дагестане, выстрелом из ПЗРК боевики подбили вертолёт Ми-8. Лётчики сумели посадить горящую машину. Пассажиры «вертушки» получили осколочные ранения и самостоятельно уже не могли покинуть машину. На помощь им пришёл экипаж. Лётчики вынесли раненых, но сами не убереглись. Боевики выпустили в уже подбитый вертолёт ещё одну ракету...

Майор Андрей Анощенков получил тяжелые ранения и ожоги. Военные врачи долго боролись за его жизнь, но 15 августа он скончался.

Указом Президента Российской Федерации от 26 августа 1999 года за мужество и героизм, проявленные при исполнении воинского долга, майору Анощенкову Андрею Ивановичу присвоено звание Героя Российской Федерации (посмертно).

Андрей Анощенков навечно зачислен в списки личного состава воинской части.

В архангельской средней школе № 55, где учился Андрей Анощенков, открыта мемориальная доска в его честь.