Родился 8 марта 1958 года в селе Илек Оренбургской области в семье военнослужащего. Окончил среднюю школу. В 1979 году окончил Саратовское высшее военное командное училище внутренних войск. Служил в Отдельной мотострелковой дивизии особого назначения внутренних войск имени Ф.Э. Дзержинского.

Командовал учебным взводом, ротой и батальоном. В 1992 году окончил Военную академию имени М.В. Фрунзе. Был направлен в отряд специального назначения «Витязь» на должность заместителя командира. В 1993 году выполнял задачи в зоне осетино-ингушского конфликта.

В апреле 1994 года назначен командиром отряда «Витязь», сменив на этой должности полковника Сергея Лысюка. Принимал непосредственное участие в боевых действиях почти во всех горячих точках страны, совершил несколько командировок в ходе первой чеченской кампании. Тогда «витязи» нанесли врагу большие потери под Хасавюртом, Ищерской, Алпатово.

В январе 1996 года возглавил группу спецназовцев отряда «Витязь», переброшенную в район села Первомайское, где была заблокирована банда Радуева, совершившая до этого нападения на город Кизляр. В село прорвалось несколько штурмовых групп отряда, одну из которых возглавил лично командир. Было уничтожено боевое охранение противника, спасено и выведено из села несколько десятков заложников из числа мирных жителей. Командование было обеспечено разведданными о численности и обороне противника, бандитам нанесены значительные потери в живой силе.

Указом Президента Российской Федерации от 12 мая 1996 года за мужество и героизм, проявленные при выполнении специального задания, полковнику Никишину Александру Николаевичу присвоено звание Героя Российской Федерации.

В июле 1996 года переведён на службу в Главное командование внутренних войск МВД России.

Уволился в запас в звании полковника. Александр Никишин — активный участник общественных ветеранских организаций, в том числе Ассоциации ветеранов подразделений специального назначения «Русь».

Награждён орденами Мужества, «За личное мужество», медалями.