Родился 10 августа 1973 года на хуторе Красноярский Чернышковского района Волгоградской области, окончил школу в г. Нижнее Гнутово.

В 1990 году Бавыкин поступил в Одесское артиллерийское училище, затем перевёлся в Екатеринбургское высшее артиллерийское командное училище. С 1994 по 1996 год проходил службу в полку обеспечения учебного процесса Военной артиллерийской академии под Санкт-Петербургом. В сентябре 1996 года Бавыкин начал службу во внутренних войсках МВД России. Неоднократно направлялся в служебные командировки на Северный Кавказ.

14 декабря 1999 года Сергей Бавыкин отправился в командировку на Северный Кавказ, где участвовал в боях за Грозный. В один из дней группа бойцов попала в окружение, но капитан Бавыкин с несколькими подчинёнными сумел пробраться к окружённым и вывести их живыми. За этот поступок он был награждён орденом Мужества, приняв награду и часы с надписью «За боевые заслуги в Чечне» на торжественном параде российских войск в Грозном из рук исполняющего обязанности Президента РФ Владимира Путина. 

10 марта 2000 года капитан Бавыкин в составе разведывательной группы выполнял задачу по выявлению опорных пунктов боевиков и корректировке огня артиллерийско-миномётных подразделений бригады в селе Комсомольское. Благодаря умелому руководству и точному целеуказанию миномётная батарея уничтожила два пулемётных расчёта и около 10 бандитов. Однако противник обнаружил позиции разведывательного подразделения. Группа боевиков, поддерживаемая огнём из миномётов, гранатомётов и снайперами, предприняла попытку выбить разведчиков с занимаемых ими позиций.

Подразделение, в состав которого входил капитан Бавыкин, оказалось отрезанным от своих частей. Завязался тяжёлый бой, который длился около 4 часов. Подобравшись вплотную к позициям разведчиков, боевики начали забрасывать их гранатами. Одна из гранат попала в развалины дома, где оборонялись капитан Бавыкин и несколько военнослужащих. Офицер бросился на гранату и накрыл её собственным телом, предотвратив тем самым гибель боевых товарищей.

Указом Президента Российской Федерации от 9 сентября 2000 года за мужество, отвагу и героизм, проявленные при выполнении специального задания, капитану Бавыкину Сергею Петровичу присвоено звание Героя Российской Федерации (посмертно).