Родился 15 января 1982 года в посёлке городского типа Дубенки Дубенского района Мордовии.

С 1987 года семья проживала в посёлке Заокский Тульской области. Окончил среднюю школу. Работал на заводе. 

В мае 2000 года призван на военную службу во внутренние войска МВД России. Служил в отряде специального назначения «Витязь» Отдельной дивизии оперативного назначения.

В составе отряда дважды выезжал в командировки для участия в боевых действиях в период второй чеченской кампании: с декабря 2000 по май 2001 года и с ноября 2001 года. Проявил мужество и профессионализм в нескольких спецоперациях.

28 марта 2002 года отряд проводил спецоперацию в городе Аргун. В ходе неё обнаружили крупный склад оружия и боеприпасов в подвале одной из средних школ города. Также внимание «витязей» привлекла целая система подземных ходов, выходящих в тот же подвал. Было принято решение проверить эти ходы. Первым продвигаясь по тесному лазу, сержант Бурнаев обнаружил группу боевиков и вступил с ними в бой. Ведя по спецназовцу автоматный огонь с нескольких точек, бандиты не давали ему прорваться к своим. Товарищи по отряду так же не имели возможности прийти на помощь Сергею. 

В кромешной тьме Бурнаев вёл бой, ориентируясь по вспышкам выстрелов. Наконец спецназовцы сумели прорваться к нему на выручку и вместе приступили к уничтожению бандгруппы. При вспышках выстрелов Сергей Бурнаев увидел, как по полу подземного коридора в сторону бойцов катится брошенная боевиками граната. Бросать её обратно уже не было времени, Сергей закрыл гранату своим телом. Ценой собственной жизни сержант Бурнаев спас жизнь товарищей.

Вскоре этот жестокий бой в подземелье окончился. Бандгруппа в составе 8 боевиков была уничтожена полностью, обнаружено большое количество оружия. В группе спецназа погиб только Сергей.

Похоронен в посёлке Заокский Тульской области.

Указом Президента Российской Федерации от 16 сентября 2002 года за мужество и героизм, проявленные при выполнении специального задания в условиях, сопряжённых с риском для жизни, сержанту Бурнаеву Сергею Александровичу присвоено звание Героя Российской Федерации (посмертно).

На родине Героя в посёлке Дубенки Республики Мордовия установлен памятник, а в посёлке Заокский Тульской области — мемориальная доска на здании школы, в которой учился Герой.

Он навечно зачислен в списки личного состава центра специального назначения «Витязь».